§ 58. Способ замены плоскостей проекций

Сущность этого способа заключается в том, что заменяют одну из плоскостей на новую плоскость, расположенную под любым углом к ней, но перпендикулярную к незаменяемой плоскости проекции. Новая плоскость должна быть выбрана так, чтобы по отношению к ней геометрическая фигура занимала положение, обеспечивающее получение проекций, в наибольшей степени удовлетворяющих требованиям условий решаемой задачи. Для решения одних задач достаточно заменить одну плоскость, но если это решение не обеспечивает требуемого расположения геометрической фигуры, можно провести замену двух плоскостей.

Применение этого способа характеризуется тем, что пространственное положение заданных элементов остается неизменным, а изменяется система плоскостей проекций, на которых строятся новые изображения геометрических образов. Дополнительные плоскости проекций вводятся таким образом, чтобы на них интересующие нас элементы изображались в удобном для конкретной задачи положений.

Рассмотрим решение четырех исходных задач способом замены плоскостей проекций.

1. Преобразовать чертеж прямой общего положения так, чтобы относительно новой плоскости проекций прямая общего положения заняла положение прямой уровня.

Новую проекцию прямой, отвечающей поставленной задаче, можно построить на новой плоскости проекций П 4 , расположив ее параллельно самой прямой и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций, т. е. от системы плоскостей П 1 _|_П 2 перейти к системе П 4 _|_ П 1 или П 4 _|_ П 2 . На чертеже новая ось проекций должна быть параллельна одной из основных проекций прямой. На рис. 108 построено изображение прямой l (А, В) общего положения в системе плоскостей П 1 _|_ П 4 , причем П 4 || l. Новые линии связи A 1 A 4 и В 1 В 4 проведены

перпендикулярно новой оси -П 1 /П 4 параллельной горизонтальной проекции l 1 .

Новая проекция прямой дает истинную величину А 4 В 4 отрезка АВ (см. § 11) и позволяет определить наклон прямой к горизонтальной плоскости проекций (а = L 1 П 1 ). Угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций (b = L 1 П 2) можно определить, построив изображение прямой на другой дополнительной плоскости П4_|_П 2 (рис. 109).

2. Преобразовать чертеж прямой уровня так, чтобы относительно новой плоскости проекций она заняла проецирующее положение.

Чтобы на новой плоскости проекций изображение прямой было точкой (см. § 10), новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной прямой уровня. Горизонталь будет иметь своей проекцией точку на плоскости П 4 _|_ П 1 . (рис. 110), а фронталь f - на П 4 _|_ П 2

Если требуется построить вырожденную в точку проекцию прямой общего положения, то для преобразования чертежа потребуется произвести две последовательные замены плоскостей проекций. На рис. 111 исходный чертеж прямой l (А,В) преобразован следующим образом: сначала построено изображение прямой на плоскости П 4 _|_ П 2 , расположенной параллельно самой прямой l . В системе плоскостей П 2 _|_ П 4 , прямая заняла положение линии l уровня (А 2 А 4 _|_П 2 /П 1 ;

П 2 /П 4 || l 2). Затем от системы П 2 _|_ П 4 осуществлен переход в систему

П 4 _|_П 5 , причем вторая новая плоскость проекций П 5 перпендикулярна самой прямой l . Так как точки А и В прямой находятся на одинаковом расстоянии от плоскости П 4 , то на плоскости П 5 получаем изображение прямой в виде точки (А 5 = B 5 = l 5).

3. Преобразовать чертеж плоскости общего положения так, чтобы относительно новой плоскости она заняла проецирующее положение.

Для решения этой задачи новую плоскость проекций нужно расположить перпендикулярно данной плоскости общего положения и перпендикулярно одной из основных плоскостей проекций. Это возможно сделать, если учесть, что направление ортогонального проецирования на новую плоскость проекций должно совпадать с направлением соответствующих линий уровня данной плоскости общего положения. Тогда все линии этого уровня на новой плоскости проекций изобразятся точками, которые и дадут «вырожденную» в прямую проекцию плоскости (см. § 47).

На рис. 112 дано построение нового изображения плоскости 0 (ABC) в системе плоскостей П 4 _|_П 1 . Для этого в плоскости 0 построена горизонталь h(A, 1), и новая плоскость проекций П 4 расположена перпендикулярно горизонтали h. Графическое решение третьей исходной задачи приводят к построению изображения плоскости в виде прямой линии, угол наклона которой к новой оси проекции П 1 /П 4 , определяет угол наклона а плоскости Q(ABC) к горизонтальной плоскости проекций (а = Q ^ П 1).

Построив изображение плоскости общего положения в системе П 2 _|_П 4 , (П 4 расположить перпендикулярно фронтали плоскости),

можно определить угол наклона Р этой плоскости к фронтальной плоскости проекций.

4. Преобразовать чертеж проецирующей плоскости так, чтобы относительно новой плоскости она заняла положение плоскости уровня.

Решение этой задачи позволяет определить величину плоских фигур.

Новую плоскость проекций нужно расположить параллельно заданной плоскости. Если исходное положение плоскости было фронтально проецирующим, то новое изображение строят в системе и П 2 _|_П 4 , а если горизонтально проецирующим, то в системе П 1 _|_П 4 . Новая ось проекций будет расположена параллельно вырожденной проекции проецирующей плоскости (см. § 47). На рис. 113 построена новая проекция А 4 В 4 С 4 горизонтально проецирующей плоскости Sum (ABC) на плоскости П 4 _|_П 1

Если в исходном положении плоскость занимает общее положение, а нужно получить изображение ее как плоскости уровня, то прибегают к двойной замене плоскостей проекций, решая последовательно задачу 3; а затем задачу 4. При первой замене плоскость становится проецирующей, а при второй - плоскостью уровня (рис. 114).

В плоскости А(DEF) проведена горизонталь h (D - 1). По отношению к горизонтали проведена первая ось П 1 / П 4 _|_h 1 . Вторая новая ось

проекций параллельна вырожденной проекции плоскости, а новые линии связи - перпендикулярны вырожденной проекции плоскости. Расстояния для построения проекций точек на плоскости П 5 нужно замерить на плоскости П 1 от оси П 1 / П 2 и откладывать по новым линиям связи от новой оси П 4 /П 5 . Проекция D 5 E 5 F 5 треугольника DEF конгруэнтна самому треугольнику ABC.

С применением способа замены плоскостей можно решать ряд других задач как самостоятельных, так и отдельных частей задач, включающих большой объем графических решений.

Назначение способов преобразования чертежа состоит в том, чтобы геометрическую фигуру общего положения расположить в частное положение относительно плоскостей проекций с целью использования свойств ее проекций. Например, преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня позволит определить по соответствующей проекции ее натуральную величину.

Способы преобразования комплексного чертежа разделяют на две группы по признаку, определяющему положение фигуры и плоскостей проекций друг относительно друга или направление проецирования:

1. Изменяют положение плоскостей проекций или направление проецирования так, чтобы неподвижная в пространстве фигура оказалась в частном положении. К этой группе относят:

способ замены плоскостей проекций;

способ дополнительного проецирования.

2. Изменяют положение геометрической фигуры в пространстве так, чтобы она оказалась в частном положении относительно фиксированной системы плоскостей проекций. В эту группу включают:

способ плоскопараллельного перемещения;

способ вращения.

Задачи, решаемые с помощью способов преобразования комплексного чертежа, сводятся к следующим основным задачам, в которых необходимо преобразовать:

прямую (плоскость, цилиндрическую или призматическую поверхности) в проецирующую фигуру;

прямую (плоскую линию или плоскость) в фигуру уровня.

Рассмотрим последовательно все способы преобразования, за исключением способа дополнительного проецирования, с которым рекомендуется ознакомиться самостоятельно по учебнику .

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа состоит в замене первоначальной системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций новой системой взаимно перпендикулярных плоскостей проекций при неизменном положении геометрической фигуры в пространстве.

Для решения конкретной задачи выполняют одно или два последовательных преобразования способом замены, например, Π 1 Π 2 →Π 1 Π 4 илиΠ 1 Π 2 →Π 1 Π 4 →Π 5 Π 4 . Во втором случае преобразование называют композицией преобразований. При каждом шаге в данном способе заменяется только одна плоскость проекций, а другая остается общей для двух систем.

Рассмотрим механизм и особенности способа замены плоскостей проекций на примере преобразования комплексного чертежа точки (рис. 28).

При замене, например, фронтальной плоскости проекций Π 2 новой вертикальной плоскостьюΠ 4 горизонтальная плоскостьΠ 1 в данном случае является общей для двух систем плоскостей проекций, вследствие чего проекцияА 1 точкиА на эту плоскость является также общей для этих систем. При этом сохраняется неизменной величина расстояния (АА 1 ) от заданной точки до этой плоскости проекций и, как следствие, равенство ее проекций на плоскостиΠ 2 иΠ 4 , т. е.АА 1 =А 2 А 12 =А 4 А 14 , что позволяет выполнять на комплексном чертеже построение новой проекцииА 4 заданной точки (см рис. 28).

Еще одна особенность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что комплексный чертеж образуется совмещением плоскостей проекций с той плоскостью, которая является общей для двух систем. В рассматриваемом на рис. 28 примере такой плоскостью является горизонтальная плоскость проекций.

В качестве примера рассмотрим задачу преобразования прямой общего положения в проецирующую. Для достижения конечного результата необходимо провести замену двух плоскостей проекций, используя композицию преобразований, т. е. два последовательных преобразования (рис. 29).

Замена одной плоскости проекций, например, Π 2 наΠ 4 позволяет преобразовать прямую общего положения только в прямую уровня, так как невозможно сразу расположить новую вертикальную плоскость проекцийΠ 4 перпендикулярно заданной прямой. Далее, заменяя последовательно вторую плоскость проекцийΠ 1 наΠ 5 и располагая ее перпендикулярно прямойАВ , получаем конечный результат (см. рис. 29).

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ. ЧЕТЫРЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Лекция 6

Для упрощения решения метрических, а также некоторых позиционных задач могут применяться методы, позволяющие переходить от задания фигур общих положений к частным. Эти методы основываются на двух принципах:

1) замещение системы плоскостей проекций на новую систему плоскостей, в которой неподвижный геометрический объект занимает какое-либо частное положение (способ замены плоскостей проекций );

2) перемещение геометрического объекта в пространстве таким образом, чтобы он занял какое-либо частное положение в неподвижной системе плоскостей проекций (способ вращения ).

В зависимости от расположения оси в пространстве, вокруг которой вращается геометрический объект, различают следующие виды способа вращения:

1) вращение вокруг линии уровня;

2) вращение вокруг проецирующей прямой;

3) плоско-параллельное перемещение.

Эти способы преобразования включают в себя четыре основные задачи начертательной геометрии :

1. Преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы прямая общего положения стала линией уровня.

2. Преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы линия уровня стала проецирующей прямой.

3. Преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей плоскостью уровня.

4. Преобразование комплексного чертежа таким образом, чтобы проецирующая плоскость стала плоскостью уровня.

Сущность этого метода заключается в том, что проецируемый объект не изменяет своего положения в пространстве, а заменяется система плоскостей проекций. Может быть заменена одна, две и более плоскостей. Замена производится до тех пор, пока геометрический объект не займет частное положение относительно новой плоскости проекций. При этом новая плоскость должна быть перпендикулярна оставшейся «старой» плоскости проекций.

Возьмем точку А , расположенную в ортогональной системе плоскостей проекций , и повернем вокруг нее горизонтальную плоскость проекций P 1 в положение , получив таким образом новую ортогональную систему плоскостей проекций . При этом должно соблюдаться следующее условие:

Расстояние от точки до «старой» плоскости проекций в новой системе плоскостей проекций должно остаться неизменным.

1 основная задача. Преобразованием прямой общего положения в прямую уровня можно определить:

Натуральную длину отрезка;

Углы наклона прямой к плоскостям проекций.

2 основная задача. С помощью преобразования прямой уровня в проецирующую прямую можно найти:

Расстояние между точкой и прямой;

Расстояние между параллельными или скрещивающимися прямыми и т.п.

3 основная задача. Преобразованием плоскости общего положения в проецирующую плоскость можно определить:

Расстояние от точки до плоскости или расстояние между параллельными плоскостями;

Углы наклона плоскости к плоскостям проекций.

4 основная задача. Преобразованием проецирующей плоскости в плоскость уровня можно найти:

Натуральную величину плоской фигуры;

Угол между пересекающимися прямыми;

Центр описанной или вписанной окружности;

Построить биссектрису угла и т.п.

Часто графическое решение задач существенно упрощается, если заданные плоскости проекций заменить на новые, такие, что в результате замены геометрические объекты займут частное положение.

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что заданные плоскости последовательно заменяются на новые при неизменном положении геометрических объектов в пространстве. Каждая новая плоскость проекций располагается перпендикулярно незаменяемой плоскости проекций.

Важно отметить, что обе заданные плоскости проекций нельзя заменить сразу. Когда требуется замена двух плоскостей проекций, нужно заменить сначала одну, а затем другую, т.е. сделать два преобразования.

При введении новой фронтальной плоскости проекций координаты Z всех геометрических объектов остаются неизменными как в исходной системе плоскостей проекций, так и в новой; при введении новой горизонтальной плоскости проекций неизменными и в исходной, и в новой системе плоскостей проекций остаются координаты Y.

Указанные положения наглядно проиллюстрированы на рис. 37, где показаны преобразования, которые необходимо выполнить при введении (замене) новой плоскости проекций П 4 .

СПОСОБЫ ВРАЩЕНИЯ И ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО

ПЕРЕНОСА

Суть метода вращения состоит в том, что при неизменном положении основных плоскостей проекций изменяется положение заданных геометрических образов относительно них путем вращения объектов вокруг некоторой оси до тех пор, пока объекты не занимают частное положение в исходной системе плоскостей.

В качестве осей вращения удобнее принимать проецирующие прямые или прямые уровня, причем точки геометрических объектов вращаются в плоскостях, параллельных или перпендикулярных заданным плоскостям проекций. При повороте какого-либо геометрического образа радиус поворота у каждой его точки свой, а угол поворота для всех точек одинаков. На комплексном чертеже при использовании метода вращения принято показывать положение оси вращения.

При вращении вокруг горизонтально-проецирующей прямой i горизонтальная проекция А 1 точки А перемещается по окружности, а фронтальная (А 2) - по прямой, представляющей собой проекцию окружности той плоскости, в которой вращается точка А (рис. 38).

Отметим, что проекции точек на фронтальной плоскости проекций лежат на прямых, перпендикулярных исходным линиям связи. Используя это, можно не задаваться изображением оси вращения и не устанавливать величину его радиуса, на чем и основан метод плоскопараллельного перемещения как частный случай метода вращения. Рассмотрим способ плоскопараллельного переноса на примере решения задачи об определении натуральной величины треугольника ABC (рис. 39).

Решение. Заданный треугольник надо расположить так, чтобы горизонтальная проекция горизонтали плоскости треугольника оказалась перпендикулярной оси X. Поскольку горизонталь плоскости треугольника после такого преобразования станет фронтально-проецирующей прямой, а все горизонтали плоскости параллельны, плоскость треугольника ABC станет фронтально-проецирующей. Сущность следующего преобразования – сделать плоскость треугольника параллельной горизонтальной плоскости проекций. Для этого линию А 2 = В 2 = нужно расположить параллельно оси X. Тогда треугольник A 1 = B 1 = C 1 = станет представлять натуральную величину треугольника ABC.

ЧЕТЫРЕ ИСХОДНЫЕ ЗАДАЧИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

Подавляющее большинство метрических задач рассматривает прямые и плоскости. Если заранее известно, какие построения нужно выполнить, чтобы прямая (или плоскость) общего положения заняла частное, решение многих метрических задач значительно облегчается.

Частных положений, как у прямой, так и у плоскости - два (прямая (плоскость) уровня и проецирующая). Это означает, что существуют четыре исходные задачи преобразования чертежа, в результате которых: прямая общего положения становится прямой уровня; прямая общего положения становится проецирующей; плоскость общего положения переходит в проецирующую; плоскость общего положения становится плоскостью уровня.

Для решения подобных задач воспользуемся методом замены плоскостей проекций, хотя каждая из них может решаться как способом вращения, так и способом плоскопараллельного переноса.

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения (АВ) в прямую уровня (рис. 40). Для решения задачи введем новую фронтальную плоскость проекций П 4 , расположенную параллельно горизонтальной проекции A 1 B 1 прямой (АВ). Т.к. при введении новой фронтальной плоскости проекций координаты Z точек А и В не изменяются, дальнейшие построения ясны из

чертежа, причем проекция А 4 В 4 представляет собой натуральную величину отрезка [АВ]. Таким образом, решение рассмотренной задачи преобразования комплексного чертежа представляет собой еще один способ нахождения натуральной величины отрезка прямой общего положения.

Задача 2. Прямую общего положения необходимо преобразовать в положение проецирующей прямой (рис. 41).

Решение. Задача решается путем двух преобразований, поскольку нужно сделать две замены плоскостей проекций: первой прямая общего положения переводится в положение прямой уровня, а второй полученная прямая уровня переводится в проецирующую. Первое преобразование представляет собой решение рассмотренной выше задачи. Т.к. вводимая во втором преобразовании плоскость проекций (П 5) является новой горизонтальной плоскостью проекций, точка А 5 располагается на линии проекционной связи А 4 А 5 на расстоянии, равном величине координаты Y точки А в системе плоскостей проекций П 1 -П 4 .

Овладев алгоритмом решения приведенной задачи, можно легко найти расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, от точки до плоскости, а также натуральную величину двугранного угла (представив линию пересечения двух плоскостей в виде проецирующей прямой).

Задача 3. Перевести плоскость общего положения, заданную треугольником ABC, в проецирующую (рис. 42).

Решение. Плоскость, заданная любым способом, представима как множество соответствующих прямых уровня - либо ее горизонталей, либо фронталей. Поэтому преобразования нужно проводить так, чтобы прямые уровня плоскости спроецировались в точки. Тогда плоскость спроецируется в совокупность точек, расположенных на одной прямой. Следовательно, если в заданной плоскости общего положения провести прямые какого-либо уровня, то, расположив новую плоскость проекций перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали или фронтальной проекции фронтали плоскости, можно получить соответствующую проецирующую плоскость (рис. 42).

Такой подход позволяет находить расстояния от точки до прямой, между плоскостью и параллельной ей прямой, между параллельными плоскостями.

Задача 4. Плоскость общего положения, заданную треугольником ABC, перевести в положение плоскости уровня (рис. 43).

Решение. Задача решается с помощью двух преобразований. Первым плоскость общего положения переводится в положение проецирующей (решение исходной задачи 3, изложенное выше), а вторым полученная проецирующая плоскость переводится в положение плоскости уровня (на рис. 42 это плоскость горизонтального уровня). Точки А 5 , В 5 и C s расположены от оси X, разделяющей плоскости П 4 и П 5 , на расстояниях, равных величинам координат Y для точек А, В и С в системе плоскостей проекций П 1 -П 4 .

Решение рассмотренной задачи позволяет находить натуральные величины плоских фигур (следовательно, сторон многоугольников и плоских углов). Решение этой же задачи методом плоскопараллельного переноса приведено на рис. 39.

Вопросы

1. Способы преобразования чертежа.

2. В чем заключается способ замены плоскостей?

3. Прямая какого положения используется при определении натуральной величины отрезка способы вращения?

4. Суть плоско-параллельного переноса..

5. сколько раз надо вращать плоскую фигуру вокруг проецирующей прямой для определения натуральной величины?

Тесты к теме « Четыре исходные задачи преобразования чертежа»

1. Как располагается дополнительная плоскость проекций относительно прямой при определении натуральной величины отрезка?

а) параллельно

б) перпендикулярно

в) произвольно

2. Как располагается дополнительная плоскость проекций относительно исходных плоскостей проекций?

а) перпендикулярно одной плоскости проекции

б) перпендикулярно двум плоскостям проекции

в) произвольно

3. Как располагается новая ось относительно проекций отрезка прямой при определении натуральной величины отрезка?

а) параллельно проекции отрезка, расположенной в плоскости перпендикулярной к дополнительной

б) перпендикулярно проекции отрезка, расположенной в плоскости перпендикулярной к дополнительной

в) произвольно

4. Сколько преобразований необходимо для определения натуральной величины плоской фигуры?

5. Сколько необходимо ввести дополнительных плоскостей проекции для преобразования прямой общего положения в проецирующую?

Введем новую плоскость проекций П 4 параллельно отрезку АВ (рис. 32) и перпендикулярно П 1 . При этом новая ось x 14 будет параллельна А 1 В 1 (в противном случае прямая АВ и плоскость П 4 пересекутся). Угол наклона отрезка АВ к плоскости П 4 равен нулю, и АВ на П 4 проецируется в натуральную величину, т.е. А 4 В 4 = АВ . Измерив отрезок А 4 В 4 , получим длину отрезка АВ .

Выявление натуральной величины плоской фигуры

методом замены плоскостей проекций

Пусть ∆ABC – плоскость общего положения (рис. 33). В плоскости треугольника проведем горизонталь h , спроецируем горизонталь h в точку h 4 на плоскость П 4 (x 14 ⊥ h 1 , П 4 ⊥ h ), построим новые проекции точек А 4 , В 4 , С 4 . Плоскость ∆ABC проецируется в прямую, проходящую через точки А 4 , В 4 , С 4 . Плоскость треугольника в системе (П 1 П 4) является проецирующей плоскостью, она перпендикулярна П 4 . Треугольник АВС проецируется на П 4 в отрезок В 4 С 4 .

Для нахождения натуральной величины ∆АВС введем плоскость проекций П 5 параллельно плоскости треугольника и перпендикулярно П 4 . Новая ось x 45 параллельна отрезку D 4 C 4 (в противном случае ∆ABC и П 5 пересекутся). Треугольник АВС проецируется на плоскость П 5 в натуральную величину ΔА 5 В 5 С 5 = ΔАВС .

Аналогично находится натуральная величина любой плоской фигуры.

Практическое задание № 3. Выполните чертеж двух пересекающихся плоскостей (формат А4).

Тема 4

ПОВЕРХНОСТИ

Начертательная геометрия изучает кинематический способ образования и задания поверхностей. При этом поверхность рассматривают как множество последовательных положений движущейся линии или другой поверхности в пространстве. Линию, перемещающуюся в пространстве и образующую поверхность, называют образующей . Образующие могут быть прямыми и кривыми. Кривые образующие могут быть постоянными и переменными, например, закономерно изменяющимися.

Закон перемещения образующей обычно определяется другими линиями, называемыми направляющими , по которым скользит образующая при своем движении, а также характером движения образующей. В некоторых случаях одна из направляющих может превращаться в точку, например, вершина у конической поверхности, или находиться в бесконечности, например, у цилиндрической поверхности.

Совокупность геометрических элементов, определяющих поверхность, называют определителем поверхности, учитывая, что закон перемещения образующей определяется названием поверхности.

Задание поверхности проекциями ее определителя не всегда обеспечивает наглядность, а это, в свою очередь, затрудняет чтение чертежа, поэтому для получения наглядного изображения поверхности на комплексном чертеже следует указывать очерк этой поверхности. Очерк проекции поверхности является проекцией соответствующей линии видимого контура. Линия видимого контура поверхности разделяет ее на две части – видимую, обращенную к наблюдателю, и невидимую.

Классификация поверхностей

Классифицируют поверхности, как правило, в зависимости от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве (рис. 35):

Поверхность называется линейчатой , если она может быть образована перемещением прямой линии. Поверхность, которая не может быть образована движением прямой линии, называется нелинейчатой . Например, конус вращения – линейчатая поверхность, а сфера – нелинейчатая . Через любую точку линейчатой поверхности можно провести, по крайней мере, одну прямую, целиком принадлежащую поверхности. Множество таких прямых представляет собой непрерывный каркас линейчатой поверхности. Линейчатые поверхности разделяются на два вида:

– развертывающиеся поверхности;

– неразвертывающиеся , или косые поверхности.

Поверхность называется развертывающейся , если она может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов.

Неразвертывающиеся поверхности невозможно совместить с плоскостью без образования складок и разрывов.

Гранные поверхности

Поверхность, образованная частями попарно пересекающихся плоскостей, называется многогранной . На рис. 36 изображены некоторые виды гранных поверхностей.

а б в

Рис. 36 Гранные поверхности

Их элементами являются грани , ребра и вершины . Плоскости, образующие многогранную поверхность, называются гранями , линии пересечения смежных граней – ребрами , точки пересечения не менее чем трех граней – вершинами .

Гранная поверхность называется пирамидальной , если все ее ребра пересекаются в одной точке – вершине (рис. 36 а ). Гранная поверхность называется призматической , если все ее ребра параллельны между собой (рис. 36 б ). Геометрическое тело, со всех сторон ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником . Призматоидом называется многогранник, у которого верхнее и нижнее основания – многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях, а боковые грани представляют собой треугольники или трапеции (рис. 36 в ).

Торсовые поверхности

Торсовой называют поверхность, образованную при движении прямолинейной образующей по криволинейной направляющей.

Существует три вида таких поверхностей: торсы , конические и цилиндрические поверхности (рис. 37).

Цилиндрическая поверхность (рис.37 а ) образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной своему исходному положению. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая.

а б в

Рис. 37 Поверхности: торсовая цилиндрическая, торсовая коническая, торс

Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром , а фигуры сечения – его основаниями .

Коническая поверхность (рис.37 б ) образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и проходящей во всех своих положениях через неподвижную точку.

Конусом называется Часть замкнутой конической поверхности, ограниченная вершиной и какой-либо плоскостью, пересекающей все ее образующие. Фигура сечения конической поверхности этой плоскостью называется основанием конуса.

Поверхности с плоскостью параллелизма в общем случае образуются движением прямолинейной образующей по трем направляющим линиям, которые однозначно задают закон ее перемещения.

Направляющие линии могут быть кривыми и прямыми . Разновидностями косых поверхностей являются линейчатые поверхности с направляющей плоскостью и частные их виды - линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (поверхности Каталана).

Поверхности с плоскостью параллелизма в аналогичных случаях соответственно называются прямыми цилиндроидами , прямыми коноидами и косой плоскостью .

Прямым цилиндроидом (рис. 38) называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум криволинейным направляющим, не принадлежащим одной плоскости, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой заданной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью параллелизма.

Прямым коноидом (рис. 39) называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум направляющим, одна из которых – кривая, а вторая – прямая, и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой плоскости параллелизма.

Рис. 38 Прямой цилиндроид Рис. 39 Прямой коноид Рис. 40 Косая плоскость

Косой плоскостью (рис. 40) называется поверхность, образованная движением прямой линии, скользящей по двум скрещивающимся прямым и остающейся во всех своих положениях параллельной некоторой плоскости параллелизма.

Винтовые поверхности

Поверхность, образованная винтовым движением прямой линии, называется линейчатой винтовой поверхностью – геликоидом (винтовое движение характеризуется вращением вокруг некоторой оси i и поступательным перемещением, параллельным этой оси).

а б

Рис. 41 Винтовые поверхности

Если в качестве кривой направляющей коноида взять цилиндрическую винтовую линию, в качестве прямой направляющей – ось винтовой линии, а за плоскость параллелизма – плоскость, перпендикулярную оси винтовой линии, то поверхность, образованная при этих условиях, называется винтовым коноидом или прямым геликоидом (рис. 41 а ).

Наклонным геликоидом называется поверхность, образованная движением прямой линии, cкользящей по двум направляющим (одна из них цилиндрическая винтовая линия, а вторая – ось винтовой линии) и сохраняющей во всех положениях постоянный угол β С направляющей плоскостью, которую располагают перпендикулярно оси винтовой поверхности. При построении проекций наклонного геликоида удобно пользоваться направляющим конусом (рис. 41 б ).

Поверхности вращения

Если перемещение образующей линии представляет собой вращение вокруг некоторой неподвижной прямой (оси), то образованная в этом случае поверхность называется поверхностью вращения .

Образующая линия может быть плоской или пространственной кривой, а также прямой. Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости перпендикулярной оси вращения (рис. 42).

Эти окружности называются параллелями . Следовательно, плоскости, перпендикулярные оси, пересекают поверхность вращения по параллелям . Линия пересечения поверхности вращения плоскостью Σ , проходящей через ось, называется меридианом .

Меридиан, который является результатом пересечения поверхности вращения с плоскостью уровня, называется главным . Проекция главного меридиана на плоскость, которой параллельна плоскость уровня, является очерковой линией соответствующей проекции поверхности вращения.

Множество всех параллелей или меридианов представляет собой непрерывный каркас поверхности вращения. Через каждую точку поверхности проходит одна параллель и один меридиан. Проекции точки располагаются на соответствующих проекциях параллели или меридиана. Задать точку на поверхности или построить вторую проекцию точки, если одна задана, можно при помощи параллели или меридиана, которые проходят через эту точку.

При проектировании различных инженерных сооружений, машин и механизмов наибольшее распространение получили поверхности, образующиеся вращением прямой линии и кривых второго порядка.

Вращением прямой линии образуются:

–цилиндр вращения , если прямая l параллельна оси i (рис. 43 а );

– конус вращения , если прямая l пересекает ось i (рис. 43 б );

– однополостный гиперболоид , если прямая l скрещивается с осью i (рис. 43 в ).

а	б	в
Рис. 43 Линейчатые поверхности вращения

К поверхностям вращения, образованным вращением кривых второго порядка вокруг оси относятся:

– сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра (рис. 44 а );

– эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси (44 б , в );

– тор образуется вращением окружности вокруг внешней оси (рис. 44 г );

а	б	в
г	д	е
Рис. 44 Поверхности вращения второго порядка

– параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 44 д );

– однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Эта поверхность образуется также вращением прямой (рис. 44 е ).

Каналовые и циклические поверхности

Каналовой называют поверхность, образованную непрерывным каркасом замкнутых плоских сечений, определенным образом ориентированных в пространстве. Площади этих сечений могут оставаться постоянными или монотонно изменяться в процессе перехода от одного сечения к другому. На рис. 45 приведены два изображения каналовой поверхности. В инженерной практике наибольшее распространение получили два способа ориентирования плоскостей образующих:

– параллельно какой-либо плоскости – каналовые поверхности с плоскостью параллелизма ;

– перпендикулярно к направляющей линии – прямые каналовые поверхности .

Каналовая поверхность может быть использована для создания переходных участков между двумя поверхностями типа трубопроводов, имеющих:

– различную форму, но одинаковую площадь нормального сечения;

– одинаковую форму, но различные площади сечения;

– различную форму и различные площади поперечных сечений.

Циклическую поверхность можно рассматривать как частный случай каналовой поверхности. Она образуется с помощью окружности, центр которой перемещается по криволинейной направляющей. В процессе движения радиус окружности монотонно меняется. Пример циклической поверхности показан на рис. 46.

Графические поверхности

Графические поверхности задаются конечным множеством линий уровня, образующих каркас этих поверхностей. Примеры графических поверхностей представлены на рис. 48.

Рис. 48 Графические поверхности

Пересечение поверхности и плоскости

Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой линию, называемую сечением. Точки этой кривой можно рассматривать как точки пересечения линий поверхности с плоскостью или прямых плоскости с поверхностью.

Отсюда следуют два варианта построения сечения:

1) выбираем конечное число линий на поверхности и определяем точки пересечения их с плоскостью;

2) выделяем конечное число прямых на плоскости и строим точки пересечения их с поверхностью.

Заметим, что возможно решение, представляющее собой комбинацию этих вариантов. В любом случае построение сечения сводится к многократному применению алгоритма решения задачи на пересечение линии и поверхности.

Определение проекций линий сечения рекомендуется начинать с построения его опорных (характерных) точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (они определяют границы видимости проекций кривой), точки, удаленные на экстремальные расстояния от плоскостей проекций и некоторые другие. После этого определяют промежуточные точки сечения.

Построение сечения существенно упрощается, если плоскость занимает проецирующее положение. Это связано с тем, что проецирующая плоскость характеризуется собирательным свойством. В этом случае одна из проекций сечения находится на следе плоскости, т.е. известна.

В пересечении гранных поверхностей плоскостями получаются многоугольники (рис. 49 а ). Их вершины определяются как точки пересечения ребер гранных поверхностей с секущей плоскостью. Секущая плоскость Σ является фронтально-проецирующей, следовательно, все линии, лежащие в этой плоскости, совпадут с фронтальным следом Σ 2 плоскости Σ. Следовательно, фронтальная проекция 1 2 2 2 3 2 сечения определится при пересечении фронтальных проекций ребер пирамиды со следом Σ(Σ 2). Горизонтальные проекции точек 1(1 1), 2(2 1) и 3(3 1) находим из условия принадлежности точек ребрам пирамиды.

Рис. 49 Построение линии пересечения поверхности с плоскостью

Рассмотрим построение выреза сферы, образованного с помощью четырех проецирующих секущих плоскостей (рис.51, а ). Каждая из них пересекает сферу по линии, являющейся частью окружности. Кроме того, Г и Р являются горизонтальной и профильной плоскостями уровня соответственно. Проекции выреза на П 1 и П 3 будут симметричными.

а	б
в	г

Рис. 51 Порядок выполнения практического задания № 4

На плоскостях проекций П 1 и П 3 ветви выреза от плоскостей Q и Т будут проецироваться в виде частей эллипсов. Точки А и В являются концами осей этих эллипсов.

Отметим опорные точки в плоскостях уровня: 1, 2 и 4 конечные точки ветвей выреза; 5 и 3 точки перемены видимости на плоскостях П 1 и П 3 соответственно.

Построим проекции опорных точек частей выреза от секущих плоскостей Г и Р на плоскостях проекций П 1 и П 3 (рис. 51, б ).

Q . Опорные точки 6 перемена видимости на П 1 . Опорная точка 7 низшая точка (рис. 51, в ).

Построим ветвь выреза от плоскости Т . Опорные точки 8 перемена видимости на П 3 . Опорная точка 9 низшая точка (рис. 51, г ).

Очерки сферы и видимость линии выреза на плоскостях П 1 и П 3 определяются с учетом сквозного выреза.

Взаимодействие поверхностей между собой

Линия пересечения двух поверхностей представляет собой в общем случае пространственную кривую. Любая точка этой линии принадлежит как первой, так и второй поверхностям и может быть определена в пересечении линий, проведенных на этих поверхностях. Тогда имеем следующие варианты решения данной задачи:

1) выбирают на одной из поверхностей конечное число линий и строят точки пересечения их с другой поверхностью;

2) выделяют на заданных поверхностях два семейства линий и находят их точки пересечения. Во втором варианте выделение пересекающихся пар кривых выполняют с помощью вспомогательных поверхностей посредников.

В качестве поверхностей посредников наиболее часто применяют плоскости или сферы. В зависимости от вида посредников выделяют следующие наиболее часто применяемые способы построения линии пересечения двух поверхностей:

а) способ секущих плоскостей;

б) способ сфер.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения (рис. 52).

Заданные поверхности – поверхности вращения. Оси заданных поверхностей параллельны П 2 , (любой диаметр сферы может быть принят за ось вращения), а их общая плоскость симметрии параллельна фронтальной плоскости проекций. Следовательно, на заданных поверхностях можно выделить два семейства окружностей, расположенных в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций. Это значит, что для решения данной задачи можно использовать в качестве посредников горизонтальные плоскости уровня.

Характерными точками проекций линии пересечения поверхностей являются точки Α , Β и С , D . Точки Α , Β находятся в пересечении очерковых образующих поверхностей, т.к. эти образующие расположены в одной секущей плоскости Ф , проходящей по плоскости симметрии поверхностей. Α и Β высшая и низшая точки линии пересечения. Точки С и D являются точками видимости горизонтальной проекции линии пересечения. Их построения выполнены в такой последовательности:

1) через центр сферы О проведена горизонтальная плоскость уровня Θ;

2) построена горизонтальная проекция окружности радиуса R

Рис. 52 Применение способа вспомогательных секущих плоскостей

3) построена горизонтальная проекция окружности радиуса R 1 , по которой плоскость Θ пересекает коническую поверхность; эта же плоскость пересекает сферу по экватору (окружности максимального радиуса);

4) определены точки C 1 , D 1 пересечения окружности радиуса R 1 с очерком сферы;

5) установлены фронтальные проекции точек С (С 2), D (D 2) из условия принадлежности их плоскости Θ.

Для построения промежуточных точек 1(1 1 ,1 2), 2(2 1 ,2 2), …, 6(6 1 ,6 2) линии пересечения заданных поверхностей используем плоскости , и .

Полученные точки соединим плавной кривой линией. Видимость линии пересечения определяется в каждой плоскости проекций.

Затем устанавливаются участки, видимые одновременно для обеих поверхностей. Так, при проецировании коническая поверхность своих точек не закрывает, а сфера закрывает точки, расположенные ниже горизонтального контура. Точки С и D , расположенные на горизонтальном очерке, отделяют видимую часть линии от невидимой. Невидимая часть показана штриховой линией. На П 2 проекции видимой части линии пересечения совпадает с проекцией невидимой, так как фронтальные очерки обеих поверхностей расположены в плоскости симметрии поверхностей.

Способ концентрических сфер

Этот способ широко используется при решении задач на построение линий пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. В основе этого способа лежит следующее свойство поверхностей вращения: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, число которых равно числу точек пересечения их полумеридианов. Эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси поверхностей вращения. У сферы любой диаметр можно принять за ось вращения. Следовательно, сфера с центром на оси поверхности вращения пересекает эту поверхность по одной или нескольким окружностям.

Если ось поверхностей вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость линия пересечения проецируется в отрезок прямой линии. На рис. 53 а , б показано пересечение сферы цилиндрической и конической поверхностями вращения, соответственно. На рис. 53 в приведены пересекающиеся соосные цилиндрическая и коническая поверхности вращения.

а б в

Рис. 53 Пересечение соосных поверхностей вращения

Рассмотрим применение вспомогательных концентрических сфер − сфер с постоянным центром. Этот способ применяют при выполнении следующих условий:

а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

б) оси этих поверхностей должны пересекаться; точку их пересечения принимают за центр вспомогательных сфер;

в) плоскость симметрии поверхностей должна быть параллельна какой-либо плоскости проекций (в противном случае применяют преобразование чертежа).

Рассмотрим построение линии пересечения конических поверхностей вращения (рис. 54). Поверхности и их расположение удовлетворяют приведенным выше условиям.

Прежде чем строить промежуточные точки, необходимо найти опорные точки линии пересечения. Точки А , В , K и L , а также E , F , С и D – это точки, принадлежащие контурам поверхностей. Их можно найти способом концентрических сфер или с помощью плоскостей посредников Σ(Σ 2) и Δ(Δ 1).

Рассмотрим теперь построение промежуточных точек на примере точек 5 и 6. Построения выполняем на фронтальной плоскости проекций. Сфера посредник Θ(Θ 2) с центром в точке О (О 2) пересекает конические поверхности по окружностям, которые на П 2 проецируются в отрезки и (проекции двух других окружностей не показаны). Точки 5 2 = 6 2 их пересечения являются фронтальными проекциями точек 5 и 6, которые принадлежат линии пересечения поверхностей, так как принадлежат каждой из этих поверхностей.

Рассмотрим предельные границы вспомогательных сфер. Радиус сфер посредников изменяется в диапазоне R max ≥ R ≥ R min , где R min – минимальный радиус сферы, R max – максимальный радиус сферы. Сфера минимального радиуса R min – это сфера, которая касается одной поверхности и пересекает другую. На рис. 54 такая сфера касается «вертикальной» конической поверхности. С помощью сферы минимального радиуса построены точки 1 2 = 2 2 и 3 2 = 4 2 . Горизонтальные проекции точек 1, 2, 3 и 4 построены аналогично точкам 5 и 6.

Радиус максимальной сферы равен расстоянию от точки пересечения осей поверхностей до самой удаленной точки пересечения контурных образующих этих поверхностей. На рис 54 – сфера R max =[O 2 L 2 ].

Для установления видимости проекций линии пересечения анализируем расположение точек относительно контуров поверхностей. Так, относительно П 1 , видимым будет участок кривой, расположенный выше контура горизонтальной конической поверхности (вторая поверхность на видимость на П 1 не влияет). Горизонтальная проекция невидимой части линии показана штриховой линией.

Точки А , В и K , L принадлежат фронтальным контурам поверхностей и отделяют видимую часть линии пересечения от невидимой при проецировании на П 2 . Фронтальные проекции видимой и невидимой частей линии пересечения на рис. 54 совпадают.

Практическое задание № 5. Выполните чертеж двух пересекающихся поверхностей. Линию их пересечения определите методом вспомогательных плоскостей (формат А4).

Работу выполняют в следующей последовательности (рис. 55):

1) определяют точки пересечения очерковых образующих одной поверхности с другой;

2) определяют наивысшие и наинизшие точки линии пересечения;

3) определяют промежуточные точки линии пересечения с помощью вспомогательных плоскостей;

4) все найденные точки пересечения последовательно соединяют кривой линией, учитывая их видимость.

При выборе вспомогательных секущих плоскостей необходимо помнить, что они должны пересечь одновременно обе поверхности и дать наипростейшие фигуры сечения. Для всех вариантов заданий вспомогательными секущими плоскостями могут быть выбраны плоскости уровня: для одних – горизонтальные, для других – вертикальные или те и другие. Точками пересечения поверхностей являются точки пересечения контуров фигур сечения поверхностей, лежащих в одной и той же вспомогательной секущей плоскости. Каждая секущая плоскость может определить от одной до четырех точек линии пересечения в зависимости от характера пересекающихся поверхностей, их расположения относительно друг друга и положения самой секущей плоскости.

Тема 5

ИЗОБРАЖЕНИЯ: ВИДЫ, РАЗРЕЗЫ, СЕЧЕНИЯ

Чертежи выполняют в строгом соответствии с правилами проецирования с соблюдением установленных требований и условностей.

Требования, предъявляемые к чертежу: обратимость, точность, наглядность, простота.

Чертеж называется обратимым , если по изображению фигуры можно восстановить ее форму, размеры и положение в пространстве. Чертеж должен быть наглядным и давать четкое представление об изображаемом предмете. Чертеж должен быть простым для графического исполнения .

Общие требования к содержательной части чертежа установлены ГОСТ 2.109-73.

При выполнении чертежей в электронном виде необходимо руководствоваться ГОСТ 2.051-2006, ГОСТ 2.052-2006, ГОСТ 2.053-2006.

Правила выполнения изображений на чертежах установлены ГОСТ 2.305-2008.

При выполнении графических документов в форме электронных моделей для получения соответствующих изображений следует применять сохраненные виды.

Рис. 56 Предмет и его проекции на основных плоскостях

Изображение на фронтальной плоскости проекций принимается на чертеже в качестве главного. Главное изображение выбирают таким образом, чтобы оно давало наиболее полное представление о форме и размерах предмета.

Изображением является любой чертеж. В зависимости от содержания изображения разделяют на виды, разрезы и сечения.

Виды

Вид – это изображение обращенной к наблюдателю видимой части поверхности предмета. Для сокращения количества изображений допускается на видах показывать штриховыми линиями невидимые поверхности предмета (см. рис. 56).

Виды разделяют на основные, дополнительные и местные.

Основными называются виды, расположенные на любой из шести основных плоскостей с сохранением проекционной связи между ними. Вид спереди – главный вид; вид сверху – под видом спереди; вид слева – справа от главного; вид справа – слева от главного; вид снизу – над главным видом; вид сзади – справа от вида слева или слева от вида справа (см. рис. 56). Названия видов на чертеже не надписываются.

Если какой-либо вид расположен вне проекционной связи с главным изображением или отделен от него другими изображениями, то стрелкой указывают направление проецирования. Над стрелкой указывают прописную букву кириллицы. Той же буквой обозначают построенный вид (рис. 57).

Похожие статьи