Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели урока:
- Выработка умений и навыков применения тригонометрических формул для упрощения тригонометрических выражений.
- Реализация принципа деятельностного подхода в обучении учащихся, развитие коммуникабельности и толерантности учащихся, умения слушать и слышать других и высказывать своё мнение.
- Повышение интереса учащихся к математике.
Тип урока: тренировочный.
Вид урока: урок отработки навыков и умений.
Форма обучения: групповая.
Тип групп : группа, сидящая вместе. Ученики разного уровня обученности, информированности по данному предмету, совместимые учащиеся, что позволяет им взаимно дополнять и обогащать друг друга.
Оборудование: доска; мел; таблица «Тригонометр»; маршрутные листы; карточки с буквами (А, В, С.) для выполнения теста; таблички с названиями экипажей; оценочные листы; таблицы с названиями этапов пути; магниты, мультимедийный комплекс.
Ход урока
Ученики сидят по группам: 4 группы по 5-6 человек. Каждая группа – это экипаж машины с названиями, соответствующими названиям тригонометрических функций, во главе с рулевым. Каждому экипажу выдаётся маршрутный лист и определяется цель: пройти заданный маршрут успешно, без ошибок. Урок сопровождается презентацией.
I. Организационный момент.
Учитель сообщает тему урока, цель урока, ход урока, план работы групп, роль рулевых.
Вступительное слово учителя:
– Ребята! Запишите число и тему урока:«Тригонометрические функции числового аргумента».
Сегодня на уроке мы буде учиться:
- Вычислять значения тригонометрических функций;
- Упрощать тригонометрические выражения.
Для этого нужно знать:
- Определения тригонометрических функций
- Тригонометрические соотношения (формулы).
Известно давно, что одна голова хорошо, а две лучше, поэтому вы сегодня работаете в группах. Известно также, что дорогу осилит идущий. Но мы живём в век скоростей и время дорого, а значит можно сказать так: «Дорогу осилит едущий», поэтому сегодня урок у нас пройдёт в виде игры «Математическое ралли». Каждая группа – это экипаж машины, во главе с рулевым.
Цель игры:
- успешно пройти маршрут каждому экипажу;
- выявить чемпионов ралли.
Название экипажей соответствует марке машины, на которой вы совершаете пробег.
Представляются экипажи и их рулевые:
- Экипаж – «синус»
- Экипаж – «косинус»
- Экипаж – «тангенс»
- Экипаж – «котангенс»
Девиз гонки: «Торопись медленно!»
Вам предстоит совершить пробег по «математической местности» со множеством препятствий.
Маршрутные листы каждому экипажу выданы. Преодолеть препятствия смогут экипажи, которые знают определения и тригонометрические формулы.
Во время пробега каждый рулевой руководит экипажем, помогая, и оценивая вклад каждого члена экипажа в преодоление маршрута в виде «плюсов» и «минусов» в оценочном листе. За каждый правильный ответ группа получает «+», неправильный «-».
Вам предстоит преодолеть следующие этапы пути:
I этап. ПДД (правила дорожного движения).
II этап. Техосмотр.
III этап. Гонка по пересечённой местности.
IV этап. Внезапная остановка – авария.
V этап. Привал.
VI этап. Финиш.
VII этап. Итоги.
И так в путь!
I этап. ПДД (правила дорожного движения).
1) В каждом экипаже рулевые раздают каждому члену экипажа билеты с теоретическими вопросами:
- Расскажите определение синуса числа t и его знаки по четвертям.
- Расскажите определение косинуса числа t и его знаки по четвертям.
- Назовите наименьшее и наибольшее значения sin t и cos t.
- Расскажите определение тангенса числа t и его знаки по четвертям.
- Расскажите определение котангенса числа t и его знаки по четвертям.
- Расскажите, как найти значение функции sin t по известному числу t.
2) Соберите «рассыпавшиеся» формулы. На тайной доске таблица (см. ниже). Экипажи должны привести в соответствие формулы. Ответ каждая команда записывает на доске в виде строки соответствующих букв (парами).
| а | tg 2 t + 1 | е | 1 |
| в | tg t | ж | cos t / sin t, t ≠ к, кZ. |
| д | sin 2 t + cos 2 t | и | 1/ sin 2 t, t ≠ к, кZ. |
| ё | ctg t | к | 1,t ≠ к / 2, кZ. |
| з | 1 + ctg 2 t | г | sin t /cos t, t ≠ /2 + к, кZ. |
| й | tg t ∙ctg t | б | 1/ cos 2 t, t ≠ /2 + к, кZ. |
Ответ: аб, вг, де, ёж, зи, йк.
II этап. Техосмотр.
Устная работа: тест.
На тайной доске написано: задание: упростить выражение.
Рядом записаны варианты ответов. Экипажи определяют правильные ответы за1 мин. и поднимают соответствующий набор букв.
| № | Выражение | Варианты ответов | ||
| А | В | С | ||
| 1. | 1 – cos 2 t | cos 2 t | - sin 2 t | sin 2 t |
| 2. | sin 2 t – 1 | cos 2 t | - cos 2 t | 2 cos 2 t |
| 3. | (cos t – 1)(1+ cos t) | -sin 2 t | (1+ cos t) 2 | (cos t – 1) 2 |
Ответ: С В А.
III этап. Гонка по пересечённой местности.
3 минуты экипажам на совещание по решению задания, а далее представители экипажей пишут решение на доске. Когда представители экипажей закончат записывать решение первого задания, все ученики (вместе с учителем) проверяют правильность и рациональность решений и записывают в тетрадь. Рулевые оценивают вклад каждого члена экипажа знаками « + » и « – » в оценочных листах.
Задания из учебника:
- Экипаж – «синус»: № 118 г;
- Экипаж – «косинус»: № 122 а;
- Экипаж – «тангенс»: № 123 г;
- Экипаж – «котангенс»: № 125 г.
IV этап. Внезапная остановка – авария.
– Ваш автомобиль сломался. Необходимо устранить неисправность вашего автомобиля.
Для каждого экипажа приведены высказывания, но в них допущены ошибки. Найдите эти ошибки и объясните, почему они были допущены. В высказываниях используются тригонометрические функции, соответствующие маркам ваших машин.
V этап. Привал.
Вы устали и должны отдохнуть. Пока экипаж отдыхает рулевые подводят предварительные итоги: считают «плюсы» и «минусы» у членов экипажа и в целом у экипажа.
Для учеников:
3 и более «+» – оценка «5»;
2 «+» – оценка «4»;
1 «+» – оценка «3».
Для экипажей: «+» и «-» взаимно уничтожаются. Считаются только оставшиеся знаки.
Отгадайте шараду .
Из чисел вы мой первый слог возьмите,
Второй – из слова «гордецы».
А третьим лошадей вы погоните,
Четвёртым будет блеянье овцы.
Мой пятый слог такой же, как и первый,
Последней буквой в алфавите является шестой,
А если отгадаешь ты всё верно,
То в математике раздел получишь ты такой.
(Три-го-но-ме-три-я)
Слово «тригонометрия» (от греческих слов «тригонон» – треугольник и «метрео» – измеряю) означает «измерение треугольников». Возникновение тригонометрии связано с развитием географии и астрономии – науки о движении небесных тел, о строении и развитии Вселенной.
В результате произведённых астрономических наблюдений возникла необходимость определения положения светил, вычисления расстояний и углов. Так как некоторые расстояния, например, от Земли до других планет, нельзя было измерить непосредственно, то учёные стали разрабатывать приёмы нахождения взаимосвязей между сторонами и углами треугольника, у которого две вершины расположены на земле, а третью представляет планета или звезда. Такие соотношения можно вывести, изучая различные треугольники и их свойства. Вот почему астрономические вычисления привели к решению (т. е. нахождению элементов) треугольника. Этим и занимается тригонометрия.
Зачатки тригонометрии были обнаружены в древнем Вавилоне. Вавилонские учёные умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Некоторые сведения тригонометрического характера встречаются в старинных памятниках других народов древности.
VI этап. Финиш.
Чтобы успешно пересечь линию финиша осталось поднапрячься и совершить «рывок». Очень важно в тригонометрии уметь быстро определять значения sin t, cost, tgt, ctg t, где 0 ≤ t ≤ . Учебники закрыть.
Экипажи поочерёдно называют значения функций sin t, cost, tgt, ctg t , если:
VII этап. Итоги.
Итоги игры.
Рулевые сдают оценочные листы. Определяется экипаж, ставший чемпионом «Математического ралли» и характеризуется работа остальных групп. Далее называются фамилии тех, кто получил оценки «5» и «4».
Итоги урока.
– Ребята! Чему вы сегодня научились на уроке? (упрощать тригонометрические выражения; находить значения тригонометрических функций). А что для этого нужно знать?
- определения и свойства sin t, cos t, tg t, ctg t;
- соотношения, связывающие значения различных тригонометрических функций;
- знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности.
- значения тригонометрических функций первой четверти числовой окружности.
– Я думаю, что вы поняли, что формулы нужно хорошо знать, чтобы их правильно применять. Вы также поняли, что тригонометрия очень важная часть математики, так как она применяется в других науках: астрономии, географии, физике и др.
Домашнее задание:
- для учеников получивших «5» и «4»: §6, №128а, 130а, 134а.
- для остальных учеников: §6, №119г, №120г, №121г.
Тригонометрические функции числового аргумента.
Тригонометрические функции числового аргумента
t
– это функции вида y
= cos t,
y
= sin t, y
= tg t, y
= ctg t.
С помощью этих формул через известное значение одной тригонометрической функции можно найти неизвестные значения других тригонометрических функций.
Пояснения .
1) Возьмем формулу cos 2 t + sin 2 t = 1 и выведем с ее помощью новую формулу.
Для этого разделим обе части формулы на cos 2 t (при t ≠ 0, то есть t ≠ π/2 + πk ). Итак:
cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t
Первое слагаемое равно 1. Мы знаем, что отношение синуса к конисусу – это тангенс, значит, второе слагаемое равно tg 2 t. В результате мы получаем новую (и уже известную вам) формулу:
2) Теперь разделим cos 2 t + sin 2 t = 1 на sin 2 t (при t ≠ πk ):
cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, где t ≠ πk
+ πk
, k
– целое число
sin 2 t sin 2 t sin 2 t
Отношение косинуса к синусу – это котангенс. Значит:
Зная элементарные основы математики и выучив основные формулы тригонометрии, вы легко сможете самостоятельно выводить большинство остальных тригонометрических тождеств. И это даже лучше, чем просто зазубривать их: выученное наизусть быстро забывается, а понятое запоминается надолго, если не навсегда. К примеру, необязательно зазубривать, чему равна сумма единицы и квадрата тангенса. Забыли – можно легко вспомнить, если вы знаете самую простую вещь: тангенс – это отношение синуса к косинусу. Примените вдобавок простое правило сложения дробей с разными знаменателями – и получите результат:
sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t
Точно так же легко можно найти сумму единицы и квадрата котангенса, как и многие другие тождества.
Тригонометрические функции углового аргумента.
В функциях у = cos t , у = sin t , у = tg t , у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом.
С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого
угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия:
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;
2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси x .
В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом данного угла.
Пояснение . Нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x , а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности) под углом 30º (см.рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует π/6. Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они же являются косинусом и синусом нашего угла:
√3 1
--; --
2 2
А зная синус и косинус угла, вы уже легко сможете найти его тангенс и котангенс.
Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат, является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.
Но есть более простой способ. Можно и не рисовать окружность и систему координат. Можно воспользоваться простыми и удобными формулами:
Пример : найти синус и косинус угла, равного 60º.
Решение :
π · 60 π √3
sin 60º = sin --- = sin -- = --
180 3 2
π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2
Пояснение : мы выяснили, что синус и косинус угла 60º соответствуют значениям точки окружности π/3. Далее просто находим в таблице значения этой точки – и таким образом решаем наш пример. Таблица синусов и косинусов основных точек числовой окружности – в предыдущем разделе и на странице «Таблицы».
Какое бы действительное число t ни взять, ему можно поставить в соответствие однозначно определенное число sin t. Правда, правило соответствия довольно сложное, оно, как мы видели выше, заключается в следующем.
Чтобы по числу t найти значение sin t, нужно:
1) расположить числовую окружность в координатной плоскости так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1; 0);
2) на окружности найти точку, соответствующую числу t;
3) найти ординату этой точки.
Эта ордината и есть sin t.
Фактически речь идет о функции u = sin t, где t -- любое действительное число.
Все эти функции называют тригонометрическими функциями числового аргумента t.
Есть целый ряд соотношений, связывающих значения различных тригонометрических функций, некоторые из этих соотношений мы уже получили:
sin 2 t+cos 2 t = 1
Из двух последних формул легко получить соотношение, связывающее tg t и ctg t:
Все указанные формулы используются в тех случаях, когда, зная значение какой-либо тригонометрической функции, требуется вычислить значения остальных тригонометрических функций.
Термины «синус», «косинус», «тангенс» и «котангенс» на самом деле были знакомы, правда, использовали их до сих пор в несколько иной интерпретации: в геометрии и в физике рассматривали синус, косинус, тангенс и котангенс у г л а (а не
числа, как это было в предыдущих параграфах).
Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла -- это отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, а тангенс (котангенс) угла -- это отношение катетов прямоугольного треугольника. Иной подход к понятиям синуса, косинуса, тангенса и котангенса развивали в предыдущих параграфах. На самом деле эти подходы взаимосвязаны.
Возьмем угол с градусной мерой б o и расположим его в модели «числовая окружность в прямоугольной системе координат» так, как показано на рис. 14
вершину угла совместим с центром
окружности (с началом системы координат),
а одну сторону угла совместим с
положительным лучом оси абсцисс. Точку
пересечения второй стороны угла с
окружностью обозначим буквой М. Ордина-
рис 14 б o , а абсциссу этой точки -- косинусом угла б o .
Для отыскания синуса или косинуса угла б o совсем не обязательно каждый раз делать указанные весьма сложные построения.
Достаточно заметить, что дуга AM составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол б o составляет от утла 360°. Если длину дуги AM обозначить буквой t, то получим:
Таким образом,
Например,
Считают, что 30° -- это градусная мера угла, а -- радианная мера того же угла: 30° = рад. Вообще:
В частности, рад, откуда, в свою очередь, получаем.
Так что же такое 1 радиан? Есть различные меры длин отрезков: сантиметры, метры, ярды и т.д. Есть и различные меры для обозначения величин углов. Мы рассматриваем центральные углы единичной окружности. Угол в 1° -- это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую часть окружности. Угол в 1 радиан -- это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т.е. на дугу, длина которой равна радиусу окружности. Из формулы, получаем, что 1 рад = 57,3°.
Рассматривая функцию u = sin t (или любую другую тригонометрическую функцию), мы можем считать независимую переменную t числовым аргументом, как это было в предыдущих параграфах, но можем считать эту переменную и мерой угла, т.е. угловым аргументом. Поэтому, говоря о тригонометрической функции, в определенном смысле безразлично считать ее функцией числового или углового аргумента.
Урок и презентация на тему: "Тригонометрическая функция числового аргумента, определение, тождества"
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 10 класса
Алгебраические задачи с параметрами, 9–11 классы
Программная среда "1С: Математический конструктор 6.1"
Что будем изучать:
1. Определение числового аргумента.
2. Основные формулы.
3. Тригонометрические тождества.
4. Примеры и задачи для самостоятельного решения.
Определение тригонометрической функции числового аргумента
Ребята, мы знаем что такое синус, косинус, тангенс и котангенс.Давайте посмотрим, можно ли через значения одних тригонометрических функций найти значения других тригонометрических функций?
Определим тригонометрическую функцию числового элемента, как: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
Вспомним основные формулы:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Кстати, как называется эта формула?
$tg(t)=\frac{sin(t)}{cos(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
$ctg(t)=\frac{cos(t)}{sin(t)}$, при $t≠πk$.
Давайте выведем новые формулы.
Тригонометрические тождества
Мы знаем основное тригонометрическое тождество: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.Ребята, давайте обе части тождества разделим на $cos^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{cos^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{cos^2(t)}=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Преобразуем: $(\frac{sin(t)}{cos(t)})^2+1=\frac{1}{cos^2(t)}.$
У нас получается тождество: $tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$, при $t≠\frac{π}{2}+πk$.
Теперь разделим обе части тождества на $sin^2(t)$.
Получим: $\frac{sin^2(t)}{sin^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{sin^2(t)}=\frac{1}{sin^2(t)}$.
Преобразуем: $1+(\frac{cos(t)}{sin(t)})^2=\frac{1}{sin^2(t)}.$
У нас получается новое тождество, которое стоит запомнить:
$ctg^2(t)+1=\frac{1}{sin^2(t)}$, при $t≠πk$.
Нам удалось получить две новых формулы. Запомните их.
Эти формулы используются, если по какому-то известному значению тригонометрической функции требуется вычислить значение другой функции.
Решение примеров на тригонометрические функции числового аргумента
Пример 1.$cos(t) =\frac{5}{7}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех t.
Решение:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Тогда $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac{5}{7})^2=1-\frac{25}{49}=\frac{49-25}{49}=\frac{24}{49}$.
$sin(t)=±\frac{\sqrt{24}}{7}=±\frac{2\sqrt{6}}{7}$.
$tg(t)=±\sqrt{\frac{1}{cos^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{25}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{25}-1}=±\sqrt{\frac{24}{25}}=±\frac{\sqrt{24}}{5}$.
$ctg(t)=±\sqrt{\frac{1}{sin^2(t)}-1}=±\sqrt{\frac{1}{\frac{24}{49}}-1}=±\sqrt{\frac{49}{24}-1}=±\sqrt{\frac{25}{24}}=±\frac{5}{\sqrt{24}}$.
Пример 2.
$tg(t) = \frac{5}{12}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $0 Решение:
$tg^2(t)+1=\frac{1}{cos^2(t)}$.
Тогда $\frac{1}{cos^2(t)}=1+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$.
Получаем, что $cos^2(t)=\frac{144}{169}$.
Тогда $cos^2(t)=±\frac{12}{13}$, но $0
Получаем: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac{5}{12}*\frac{12}{13}=\frac{5}{13}$.
$ctg(t)=\frac{1}{tg(t)}=\frac{12}{5}$.Задачи для самостоятельного решения
1. $tg(t) = -\frac{3}{4}$, найти $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, при всех $\frac{π}{2}
4. $cos(t) = \frac{12}{13}$, найти $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ для всех $t$.
Похожие статьи
